Juan Carlos Rosales¹, Hyun Mo Yang<sup>2

1</sup>Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional de Salta, Argentina, e do Laboratório de Informática — Unicamp (Lab-Epifisma), ²Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica, da Universidade Estadual de Campinas, (Unicamp), Brasil

Estima-se o tempo de aparição do primeiro caso de leishmaniose em homens a partir da detecção da leishmaniose em cães pela primeira vez, sob a hipótese de que a mesma acontecerá quando a proporção de cães infectados atingir um valor crítico. Um modelo matemático determinístico do tipo SIR (Suscetíveis-Infectantes-Recuperados) para dois hospedeiros vertebrados e um hospedeiro invertebrado é aplicado para a análise do processo de transmissão da doença. O modelo resultante é simulado em ambiente Matlab®, com parâmetros estimados com dados correspondentes a zonas endêmicas: Andradina, na região de Araçatuba, no Estado de São Paulo (Brasil), e em regiões Noroeste da Província de Salta (Argentina). Consegue-se também estimativas numéricas para o número de reprodutibilidade basal (Ro).

Palavras-Chave: Número de reprodutibilidade basal; Modelo matemático; Simulação; Força de infecção;  Leishmaniasis.

Abstract:  We estimated the time delay for the appearance of the first case of Leishmaniosis among humans since the appearance of the disease among dogs. It is observed that the first case among humans occurs when the prevalence among dogs reaches critical value. We developed a SIR-type (Susceptible-Infectious-Recovered) deterministic model taking into account two vertebrate hosts (humans and dogs) and one invertebrate vector (insect Lutzomyia). The model is simulated using Matlab® software, in which model parameters are obtained from Andradina, Araçatuba, São Paulo-Brazil and the northeast regions of the Province of Salta, Argentina. We also estimated the basic reproduction number Ro for both regions.

Introdução

Salta é uma das nove Províncias da República Argentina que apresentam regiões endêmicas de leishmaniose tegumentar americana (LTA). Outras Províncias são Jujuy, Tucumán, Catamarca, Formosa, Chaco, Santiago del Estero, Misiones e Corrientes. O primeiro surto epidêmico, que ocorreu na segunda metade do século passado, teve lugar em Pichanal, justamente uma localidade da Província de Salta, e o agente etiológico foi identificado como Leishmania (Viannia) brasiliensis¹¹. A espécie vetor envolvida com a transmissão é a Lutzomyia intermedia¹².

Muitas pesquisas têm sugerido que os cães desempenham  papel principal no ciclo de transmissão da doença, no caso doméstico e, também, peri-doméstico^3,4,5,9,10. Embora não se possa estabelecer uma relação causa-efeito, a ocorrência da leishmaniose visceral americana (LVA) em seres humanos tem também como fator de risco a  ocorrência da leishmaniose visceral canina (LVC) com prevalência superior a 2%, acompanhada de alta densidade de população canina². Quando é detectada a presença do vetor, ocorre um risco da doença em cães e, depois, a ocorrência da doença em homens. Esta constatação sugere que na medida em que a adaptação do vetor ocorre em cidades, aumenta o risco do estabelecimento de transmissão da LVC e, conseqüentemente, da transmissão nos homens².

Muitos modelos matemáticos têm sido propostos para descrever os processos complexos de transmissão de doenças. Neste trabalho, avaliamos, utilizando modelo matemático do tipo SIR, o fator de risco da leishmaniose canina (LC) na Leishmaniose Humana. Para tal estima-se o tempo de aparição do primeiro caso de leishmaniose em seres humanos (Tc), quando a ocorrência da LC atingir um determinado valor; por exemplo, 10% a 20% de proporção de cães infectantes. Estuda-se numericamente o modelo proposto em ambiente Matlab®, simulando com parâmetros estimados com dados de zonas endêmicas de Andradina, na região de Araçatuba, Estado de São Paulo (ESP), Brasil, e do município de Pichanal, na região Noroeste da Província de Salta (PS), na Argentina . Conseguem-se, também, estimativas numéricas para o número de reprodutibilidade basal Ro.

Metodologia

Nós propomos um modelo determinístico do tipo SIR, considerando populações de hospedeiros homogêneas, em que os contatos ou interações ocorrem segundo o princípio da ação das massas. O sistema de equações diferenciais que descrevem as variáveis de estados para a modelagem da leishmaniose e a análise da estabilidade foi realizado por J.C. Rosales⁴.

Primeiro fazemos a modelagem com uma taxa de infecção para o homem, a₁, muito pequena.  Para a população de cães, usa-se a taxa de infecção de modo que a proporção de cães infectantes seja menor que um valor dado, por exemplo, 20%. Posteriormente, a taxa de contato para o homem é estimada novamente usando incidências dos municípios de Andradina (ESP) e de Pichanal (PS). Em caso de existir apenas dados da prevalência, consideramos que a taxa de recuperação é pequena, quase nula, e a doença praticamente crônica.

No modelo, para os hospedeiros caninos, foram utilizados três compartimentos: suscetível C₁(t), infectante C₂(t) e recuperado C₃(t). Para o homem temos suscetível H₁(t), infectante H₂(t) e recuperado H₃(t). Entretanto, para a população do hospedeiro invertebrado, foram considerados somente dois compartimentos: suscetível L₁(t) e infectante L₂(t) (veja Apêndice).

O modelo considera só uma espécie do vetor transmissor, pelo fato da abundância da Lu. intermedia  nas capturas. Por exemplo, estudos na região da PS, no Paraje Las Carmelitas, determinaram que 97,5% correspondia à espécie Lu. intermedia, 2,2% à Lu. shannoni e menos de 1% à Lu. cortelezzii¹³.

Para a análise dos resultados, o modelo foi implementado numericamente no ambiente  Matlab®, cuja simulação fornece um tempo crítico, o tempo de aparição do primeiro caso humano, Tc, e as estimativas do número de reprodutibilidade basal Ro.

Resultados

Os resultados numéricos foram obtidos com Matlab® utilizando método de Runge-Kutta de quarta ordem como problema não ´stiff´. Na Tabela 1 temos os valores estimados das taxas de contato a₁, do tempo crítico Tc em anos e os valores do número de reprodutibilidade basal Ro. No caso de Ro temos dois valores: o primeiro quando a contribuição do homem ao ciclo de transmissão ainda é baixa, dada pela taxa de contato pequena, e, depois, quando a proporção de cães infectados resulta maior que o valor dado para ser estudado, em que a taxa de contato utilizada para o homem é a estimada da incidência per capita (força de infecção) das regiões correspondentes. Neste trabalho, o valor  utilizado para a população do cães infectados  foi C₂(t) =0,2. Esse valor limite determina que a leishmaniose em cães é considerada fator de risco no modelo. Nós fizemos as simulações para a evolução temporal das variáveis de estados consideradas no ciclo simplificado da transmissão da leishmaniose. Os resultado são mostrados nas Figuras 1 e 2.

Figura 1. Modelagem correspondente ao município de Andradina, Araçatuba, São Paulo, baseado em estimativas das taxas de contato com dados da incidência da região. O tempo crítico estimado  (Tc) para a aparição do primeiro caso de leishmaniose  é Tc=2,004 anos.

Figura 2. Modelagem correspondente ao município Pichanal, Província de Salta, baseado em estimativas das taxas de contato com dados da incidência e força de infecção na região. O tempo crítico estimado Tc para a aparição do primeiro caso de leishmaniose  é Tc=0.393 anos.

Tabela 1. Valores estimados das taxas de contato a₁, do tempo crítico Tc de aparição pela primeira vez da leishmaniose em seres humanos e o número de reprodutibilidade basal Ro. Para Andrina (ESP) e Pichanal (PS).

Localidade	Incidência	a1	Tc	Ro
Andradina	38/000003	0,19	2,004	2,02 3,95
Pichanal	7,8/00002	3,9	0,393	5,63 5,66

Na Figura 1 temos a situação para o município de Andradina, na região de Araçatuba (ESP). A figura mostra a evolução no tempo dos compartimentos de infectantes H₂(t), C₂(t) e  L₂(t). A aparição do primeiro caso de leishmaniose no homem ocorre no tempo crítico Tc=2,004 anos. Também mostra a evolução dos compartimentos de suscetível, infectante e recuperado para cão e homem. No caso da Lu., mostram-se somente os compartimentos de suscetível e infectante. Nota-se que a ocorrência de leishmaniose em seres humanos deu-se com quase  dois anos de atraso após a aparição da doença em cães.  Os valores das taxas  de contato para o homem a₁ e o cão a₂ foram estimados a partir dos dados obtidos por Camargo-Neves et al.⁵, que mostram, em um inquérito canino realizado em 1999, uma prevalência canina de 3,1% e o coeficiente de incidência 38/100.000 calculado com os casos até maio de 2002.

Na Figura 2 temos a simulação correspondente ao município de Pichanal (PS).  O coeficiente de incidência 7,8/10.000 foi extraído do estudo feito por  Salomón et al¹¹. Neste caso o valor estimado do tempo crítico é Tc=0,393 anos. Nesse tempo temos a aparição do primeiro caso de infectado humano pela doença.  Aqui também podemos observar a evolução temporal dos compartimentos de suscetível, infectante e recuperado para o cão e o homem. No caso da Lu., mostram-se somente os compartimentos de suscetível e infectante. Como na Figura 1, os valores das taxas de contato foram estimados do trabalho de Salomón et al.^11,12,13 e  Marco et al.⁷.

Discussão

Existem diferenças nas estimações dos tempos críticos Tc encontrados nas localidades estudadas. O tempo de aparição da leishmaniose em seres humanos em Pichanal (PS) é muito mais curto do que o tempo estimado para a região de Andadrina (ESP). Em Pichanal, aos 4 meses e 21 dias, aproximadamente, houve aparição da doença no homem, que resultou em agravos ao panorama global de saúde pública na Província de Salta enquanto em Andradina o primeiro caso em homens aconteceria, aproximadamente 24 meses após caso em cães, o que pode significar uma vantagem para elaborar ações de prevenção e controle pelo sistema de saúde do Estado de São Paulo.

A situação é análoga ao analisar as estimativas do número de reprodutibilidade basal Ro, que é um indicador da dificuldade de erradicação da doença. Novamente, o valor resulta maior em Pichanal que em Andradina. É importante observar que uma mudança no número de reprodutibilidade basal Ro ocorre quando o homem começa a ter maior peso no modelo. No caso de Pichanal, o aumento resultante é pequeno comparado com o aumento que acontece em Andradina que é da ordem de 0,03 e 1,93,  respectivamente. Isso mostra uma possível relação densidade-dependente, pelo fato de Andradina poder ser considerada uma cidade de grande porte quando comparada com Pichanal.

Os índices epidemiológicos das duas regiões têm relação direta com as medidas implementadas para o controle vetorial, o inquérito sorológico canino semestral para a eliminação de cães positivos, a borrifação das paredes internas e externas das casas e o emprego de coleiras impregnadas com deltametrina. Em comunicação telefônica com a Prefeitura de Pichanal, as autoridades confirmaram a inexistência de ações de controle por parte do município, já que isto compete à Província. Por outro lado, o Ministério de Saúde Pública da Província de Salta não realiza ações de prevenção na região. O único programa existente restringe-se a prover remédios às pessoas doentes. Esta situação piora ainda mais em função dos desmatamentos extensivos, programados ou não, na região.

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Apêndice

Nesta seção apresentamos o modelo utilizado na modelagem do ciclo de transmissão da leishmaniose. O sistema de equações diferenciais ordinárias que descreve a dinâmica do processo de transmissão da leishmaniose é:

onde m_i ; i = 2,3 e m_i  i = 2,3 são, respectivamente, as taxas de mortalidade natural e induzida pela doença. Por outro lado, a_2i  e b₂ são as taxas de contato; q_i, i = 1,2, são  as taxas de perda da imunidade. Por último, g^-1₃ é o período  de recuperação. Todos os parâmetros são positivos.

As populações totais dos hospedeiros vertebrados e do hospedeiro invertebrado são normalizadas. Além disso, considera-se, por simplicidade, que as mesmas estão em equilíbrio, no sentido de que não existem migrações nem emigrações e que os nascimentos estão compensando as mortes. O modelo resulta, então, do tipo SIR para os hospedeiros vertebrados e do tipo SI para o hospedeiro invertebrado.

Da análise da estabilidade, para o ponto de equilíbrio trivial, correspondente à comunidade livre de doença, obtemos, utilizando Routh Hurtwitz, a expressão para o número de reprodutibilidade basal:

Pode-se observar que o número de reprodutibilidade basal contempla a contribuição dos hospedeiros vertebrados, homem e cão, multiplicado pelo tempo de sobrevivência do vetor Lu. Isto pode-se escrever como

onde,

é a contribuição do homem e

é a parte da contribuição do cão ao número de reprodutibilidade  basal.  

Correspondência/Correspondence to:
Juan Carlos Rosales
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